MTM &
Matemáticas
FUNCIONES LINEALES:
EJERCICIOS:
x = personas
y= Costo total
Costo variable: $10
Costo fijo: $150
C(x)= costos variables + costos fijo
C(x)= 10x + 150
X mayor o igual a 0
2._El costo de un boleto de autobús en Yucatán depende directamente de una distancia viajada Un recorrido de 2 millas cuesta 40 centavos. Mientras que uno de 6 millas tiene el costo de 60 centavos. Determiné el costo de un boleto por un recorrido de x millas.
y= costo
x= millas recorridas (x, y)
(2 millas, 40) (6, 60) à puntos de la recta
1.- Pendiente m= 60-40/6-2 = 20/4= 5 centavos por milla
2.- Punto pendiente : y – y1 = m(x – x1)
Y – 40 = 5 (x – 2)
Y= 5x – 10 + 40
C(x)= 5x + 30
5 à Costo variable 30 -> Costo fijo
a) Determine la relación entre la tarifa social y la distancia recorrida suponiendo que es lineal.
b) ¿Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina?
c) ¿Cuál es la cuota por cada milla que la maquina es transportada?
Y= costo total
X= millas transportadas (15, 70) (25, 100) (x, y)
CASO: dos puntos
C(x) = 3x + 25
b= 10 000
m = - (10 000) (12%) = - 1 200
CASO: pendiente-intersección
V(t)= - 1200t + 10000
Valor de automóvil a los 5 años
V(5)= - 1200(5) + 1000 = $4 000
¿Qué tiempo debe de pasar para que se deprecie por completo?
-1200 t + 10 000= 0
-1200t = - 10 000
t= - 10 000/ - 1200
t= 8.333 años
ECUACIÓN DE LA RECTA
a) Pendiente igual a 3, pasa por (0, 4)
m= 3 (0,4) son las coordenadas de la intersección en y, ordenada al origen b=4
CASO: pendiente – intersección
Y= mx + b
y= 3x + 4
b) Intersecta al eje y en -5 y su pendiente es igual a 2/3
m= 2/3 (0, -5) ordenada al origen b= -5
y= mx + b
y= (2/3)x - 5
c) Pasa por el punto (3,5) y su pendiente es 4
m= 4 P(3, 5)
CASO: un punto y una pendiente
y – y1 = m(x – x1)
y – 5=4(x – 3)
y – 5= 4x – 12
y= 4x – 12 + 5
y= 4x – 7
Considerar el punto (2, 1)
y – y1 = m(x – x1)
y – 1=4(x – 2)
y= 4x – 8 + 1
y= 4x – 7
d) Intersecta al eje x en -3 y su pendiente es -4
m= - 4
Punto (-3, 0)
CASO: punto y pendiente
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = - 4(x – ( - 3))
y= - 4(x + 3)
y= -4x -12
e) Pasa por los puntos (3,4) y (2, -5)
(x1, y1) (x2,y2)
CASO: dos puntos
1.- pendiente
m= y2-y1/x2-x1
m= -5 - -4/ 2-3 = 9/-1= 9
2.- Usar la ecuación punto pendiente
y – y1 = m(x – x1)
y – 4=9(x – 3)
y = 9x – 27 + 4
y= 9x – 23
Usando el otro punto obtenemos lo mismo
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5)= 9(x – 2)
y + 5= 9x -18
y= 9x – 18 – 5
Y= 9x – 23
f) Corta a los ejes en x=3 e y= -6
Lo que tengo aquí son intersecciones
(3, 0) (0 , -6) a= 3 b= - 6
m = - b/a = - -6/3 =2
Observemos que ya tenemos la pendiente, y, la ordenada al origen
Y= mx + b
Y= 2x – 6
g) Pendiente igual a 0 y pasa por (0, -2)
Este es un caso de una recta horizontal (porque la pendiente es cero)
Y= b
Y= -2
h) Pasa por los puntos (2, - 2) y (0, 5)
i) Pendiente igual a 2 pasa por (-4, -8)
j) Pasa por los puntos (-4 , -3) y (-2, -3)
Observar: Las coordenadas tienen algo en común
Tienen la misma ordenada , eso significa que se trata de una recta horizontal.
Entonces la ecuación es y= - 3
k) Pasa por los puntos (-7, -3) y (2, 6)
EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA RECTA RECTA
La ecuación P = 240 000 - 7 500t expresa la relación entre la población mundial estimada P de un ave exótica declarada en peligro de extinción y el tiempo t medido en años desde 1990 (t =0 corresponde a 1990). Identifique e interprete el significado de la pendiente, la intercepción de P y la intercepción de t.
P = 240 000 - 7 500t
¿Cuál es la ordenada al origen? 240 000
Intersección en t:
Para obtener la intersección en el eje horizontal, igualamos la ecuación con cero
240 000 - 7 500t=0
Despejamos t
t= 32
Pendiente: - 7 500 (decreciente)
m= - 7500 individuos/año
Un grupo numeroso de practicantes médicos tiene 30 médicos de tiempo completo. Actualmente, hay personal de oficina que hace a mano toda la facturación a los pacientes. Procesar manualmente las facturas cuesta al grupo de práctica $1.25 por factura.
Dado el alto volumen de facturación, la gerente de la empresa cree que es hora de pasar de la facturación a clientes a mano a la facturación computarizada.
Se consideran dos opciones: 1) el grupo de práctica puede comprar su propia computadora y software y hacer la facturación por sí mismo o 2) el grupo puede contratar una oficina de servicio de cómputo que hará la facturación a los pacientes.
Los costos de cada alternativa son una función del número de facturas a clientes.
La oferta inferior presentada por una oficina de servicio daría como resultado una tarifa anual sencilla de $3 000 más $0.95 por factura procesada. Con la ayuda de un consultor de cómputo, la gerente de la empresa ha estimado que el grupo puede arrendar un pequeño sistema de cómputo empresarial y el software requerido con un costo de $15 000 por año. Se estima que los costos variables de llevar la facturación de esta manera son de $0.65 por factura.
De las tres opciones presentadas ¿cuál será la más efectiva?
1) A mano
2) Contratar a una oficina
3) Compren su propio sistema de cómputo
1) C(x)= 1.25x
2) C(x)= 0.95x + 3 000
3) C(x)= 0.65x + 15 000
Ejercicios depreciación
m = - (dinero/año)
1. Una empresa adquiere una máquina que tiene vida útil de 10 años y valor de $400 000. El valor de rescate de dicha máquina al término de su vida útil es de $80 000. Encuentre una expresión para el valor contable después de t años. ¿cuál es la depreciación anual?
Valor inicial: 400 000 à ordenada al origen (0, 400 000)
(10, 80 000)
Dos puntos
Ecuación: y= mx+b V(t)= - 32000t + 400 000
2.- ¿Cuál es la vida útil de una máquina que costó $15 000, si el cargo anual por depreciación es de $900 y el valor de rescate es de $7 800? Halle una expresión para el valor contable.
Ordenada al origen: 15 000
Pendiente: - 900 dólares/año
Y=mx+b
V(t)= - 900t + 15 000
Para conocer la vida útil, debemos de conocer el valor de rescate o de desecho.
V(t)= - 900t + 15 000
7 800= - 900t + 15 000
t= 8 años
3.- ¿Cuál es el valor en libros de un automóvil después de 10 años, si su costo inicial fue de $148 000 y se espera que tenga vida útil de 15 años, momento en el que costará $91 000? Halle una expresión para el valor contable.
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